수도쿠에 숨어 있는 과학

수도쿠 퍼즐을 푸는 데는 수학, 아니 산수조차 필요하지 않다. 그럼에도 이 게임은 흥미로운 수학적인 문제를 여러 개 제시하고 있다.
글 | Jean-Paul Delahaye


















논리 게임은 수학자, 컴퓨터 전문가, 도박 중독자 등 아주 적은 사람들에게만 인기를 끌 것이라고 생각하기 쉽다. 하지만 상당히 짧은 시간 만에 수도쿠 게임은 1980년대 초 루빅스 큐브처럼 이상하리만치 인기를 얻었다.

3차원인 루빅스 큐브와는 달리 수도쿠는 평면의 정사각형 격자에서 이루어진다. 통상적인 81개의 칸(9열과 9행)은 9개의 준격자로 나눌 수 있으며 각각의 준격자는 9개의 칸을 갖는다. 몇 개의 칸에는 이미 숫자가 프린트되어 있는 상태에서 게임을 시작한다. 빈 칸에 1에서 9까지의 숫자를 채우되 같은 숫자가 같은 행, 열, 그리고 준격자 안에서 반복되지 않도록 해야 한다. 각 퍼즐의 정답은 하나뿐이다.

아이러니컬하게도 숫자를 사용하는 게임인데도 불구하고 수도쿠를 푸는 데에는 수학이 조금도 필요하지 않다. 사실 어떠한 연산도 - 덧셈과 곱셈을 포함하여 - 격자를 완성시키는 데에 도움을 주지 않으며 사실상 숫자 말고도 아홉 개의 서로 다른 기호(문자, 색깔, 아이콘 등)로도 채울 수 있다. 그럼에도 수도쿠는 수학자들과 컴퓨터 과학자들에게 많은 흥미로운 문제들을 제공한다.

수도쿠의 족보
한 가지 알 수 없는 것은 이 게임의 기원이다. 수도쿠의 조상은 통상적으로 추정되는 마방진(魔方陣, magic square)은 - 모든 행, 열, 그리고 대각선의 숫자들의 합이 모두 같은 정방행렬 - 아니다. 사실상 숫자와 격자를 제외하면 수도쿠는 마방진과 아무런 관련이 없다. 하지만 라틴방진(Latin square)과는 아주 큰 관련이 있다.
n차 라틴방진은 n2개의 칸을 갖는 행렬, 매트릭스이다. n개의 기호들이 같은 행과 열에는 절대로 반복되지 않도록 채워져 있다(n개의 기호들이 각각 정확히 n번 사용된다). 이와 같은 수의 격자에 대한 기원은 중세로 거슬러 올라간다. 그후 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)가 라틴방진이라는 이름을 붙이고 이를 연구했다.....